Sistema lineal 5x3 dependiente de dos parámetros

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Categoría: 2º Bachillerato
Publicado el Lunes, 10 Junio 2013 17:57
Escrito por Mariano Herrero

Dado el sistema de ecuaciones Sistema 5x3 dependiente de dos parámetros  , determinar  a y  b  que hagan que el sistema sea compatible determinado, sabiendo que a es un número entero. Resolver el sistema.


En este caso proponemos un sistema de 5 ecuaciones con 3 incógnitas (más ecuaciones -5-  que número de incógnitas)   dependiente de dos parámetros. Se resuelve por el método de Gauss, con el objetivo de determinar no solo los rangos de la matriz de coeficientes y de la matriz ampliada, sino también el sistema equivalente escalonado correspondiente.


Según indica el Tma de Rouche-Frobenius para que sea compatible determinado el rango(A) = rango(A/B) = 3 = número de incógnitas.

Para ver los rangos y resolver el sistema, buscamos CEROS por debajo de la diagonal principal, con las trasformaciones  que en cada paso se indican

Sistema de 5x3 dependiente de dos parámetros

Para mejor comprensión desarrollamos paso a paso las trasformaciones de las filas 4ª y 5ª de la 4ª columna (columna de términos independientes)

4ª fila => (2–a)F4 – (4b–3)F5 = (2–a)(18b–15) – (4b–3)18 = 36b –30 –18ab +15a –72b + 54 = 15a –36b +24 –18ab = 3(5a –12b + 8 –6ab)

5ª fila =>(2a +3)F5 – (2–a)F3  = (2a +3)18 –(2–a)(10a+16) = 36a +54 – (20a + 32 –10a2 –16a) = 36a +54 –20a –32 +10a2 +16a = 10a2 + 32a +22 = 2(5a2 + 16a +11)

Si  2a + 3 = 0 => a = –3/2  => Si a = –3/2   rango(A) = 3; rango(A/B) ≥ 3  (máximo 4)

Para que el sistema sea compatible determinado (rango(A/B) = 3) las dos últimas columnas del término independiente han de ser CERO: 2(5a2 + 16a +11) = 0  y  3(5a –12b + 8 – 6ab) = 0

5a2 + 16a +11 = 0, ecuación de segundo grado cuyo coeficiente del término en a es 16 (par), con soluciones  a1 = –1 y  a2 = –11/5  => 5(a +1)(a + 11/5) = 0.
La única solución entera es  a = –1; sustituyendo en la otra ecuación con  a = –1 => 5(–1) – 12b + 8 –6(–1)b = 0  => – 5 – 12b + 8 + 6b = 0  => 3 –6b = 0  => b = 1/2.  

Con estos valores el sistema equivalente es: Sistema 3x3 equivalente del anterior

Por sustitución, en la 2ª ecuación hacia arriba:  y + 2·6 = 9 => y = –3;
De manera análoga en la 1ª ecuación:  x + (–3) = –1 => x = –1 + 3 =>  x = 2

Solución: x = 2; y = –3; z = 6