Ejercicio de análisis. Paeg 2010 Castilla y León

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Categoría: 2º Bachillerato
Publicado el Domingo, 27 Noviembre 2011 22:21
Escrito por Mariano Herrero


La cantidad C de tomates (en kg) que se obtienen de una planta de tomate depende de la cantidad de abono x (en gramos) que se añade en el proceso de siembra según la función C(x) =10-5(x + 20)2(a – x) donde  x € [0,200 ] y a es un parámetro.
a) Determina el valor de a sabiendo que con 130 gramos de abono se recogen 20,25 kg de tomate.
b) Supuesto a = 220, calcula la cantidad de abono que debe echar un agricultor en cada planta para recoger la máxima cantidad de tomates. ¿Cuál es esa máxima cantidad de tomates? Castilla y León Paeg junio 2010 Fase General


Solución:
a) Nos dan un valor del dominio de f  y su imagen, por tanto sustituyendo los valores  tenemos:  C(130) =10 -5(130 + 20)2(a –130) = 20,25
Desarrollando  tenemos: 10-5·1502(a –130) = 20,25 => 10-5·22500(a –130) = 20,25
quitando paréntesis => 0,225 (a –130) = 20,25 => 0,225a – 29,25 = 20,25;
0,225a = 20,25 + 29,25 = 49,5 => (despejando) a = 49,5/0,225 = 220

b) Con a = 220 la función C(x) queda:  C(x) =10 -5(x + 20)2(220 – x)  que desarrollando tenemos:
C(x) =10 -5(x2 + 40x + 400)(220 – x) = 10 -5(220x2 – x3 + 8800x – 40x2 + 88000 – 400x)
ordenando términos   => C(x) =10 -5(– x3 +180x2 + 8400x + 88000)

Para recoger la máxima cantidad tenemos que derivar: C´(x) =10 -5(–3x2 + 360x + 8400)

Para hallar el máximo igualamos a CERO y resolvemos la ecuación: 10 -5(–3x2 + 360x + 8400) = 0
Al estar igualado a CERO para hallar las soluciones podemos suprimir el factor  10 -5  => –3x2 + 360x + 8400 = 0 =>

(simplificando por –3 ): x2–120x – 2800 = 0,  ecuación de segundo grado cuyas soluciones son x = 140 y  x = – 40

Por el enunciado x = – 40 NO tiene sentido. La solución es x = 140 gramos de abono en cada planta.
De todas formas lo comprobamos con la segunda derivada: C´´(x) =10 -5(– 6x+360) =>
 y sustituyendo  x = 140: C´´(140) =10 -5(– 6x+360) = 10 -5(– 6·140 +360) = 10 -5(– 480) = – 0,0048 < 0 => Se trata de un máximo.
 
Determinando la imagen de 140, obtenemos la cantidad máxima de tomates: C(140) =10 -5(140 + 20)2(220 –140) = 10 -5·1602·80 = 20,48 kg de tomate.