Probabilidad: definiciones
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- Categoría: 1º Bachillerato
- Publicado el Miércoles, 15 Enero 2014 20:21
- Escrito por Mariano Herrero
En temas anteriores se ha estudiado los diferentes sucesos aleatorios y sus frecuencias absolutas y relativas y ahora toca el estudio de la probabilidad de esos sucesos. Empezamos con dos definiciones (la moderna y la clásica).
Probabilidad de un suceso es el límite al que tiende su "h" (frecuencia relativa) cuando el número de pruebas tiende a infinito.
Probabilidad (definición clásica = Regla de Lapalace) de un suceso es el cociente entre el número de casos favorables y el número de casos posibles, siendo todos los sucesos elementales equiprobables (tienen la misma probabilidad).
Propiedades:
1. P(A ) es un número real, tal que 0 ≤ P(A) ≤ 1
P(Φ) = 0 (suceso imposible).
P(E ) = 1 (suceso seguro).
2. En general, si A1, A2, A3, ... An son sucesos incompatibles, entonces 
(teorema probabilidad total)
Particularizando para dos sucesos A y B => P(A υ B) = P(A ó B) = P(A) + P(B)
Si fueran A, B, C, 3 sucesos incompatibles, la probabilidad de la Unión de los sucesos A, B y C. es: P(A υ B υ C) = P(A) + P(B) + P(C).
Ejemplo 1. Una urna tiene 7 bolas blancas y 4 negras. Hallar la probabilidad de que al sacar una bola, ésta sea blanca.
Casos favorables: 7 (pues son 7 blancas).
Casos posibles: 7 + 4 = 11 (el total de las bolas) => P(blanca) = 7/11
Ejemplo 2. Calcular la probabilidad consistente en que al extraer una carta de una baraja española, se obtenga una figura.
Casos favorables: 12 (que son el total de las figuras).
Casos posibles: 40 (total de la baraja). => P(figura) = 12/40 = 3/10.
NOTA: En lo sucesivo, siempre que se cite una baraja, se supone mientras no se diga lo contrario que es una baraja española de 40 cartas, con 10 cartas de cada palo: oros, copas, espadas y bastos. Cada palo está numerado del 1 (AS) hasta 7 y tres figuras (sota, caballo y rey).
Ejemplo 3: Sea el experimento que consiste en extraer una carta de una baraja y consideremos los sucesos siguientes: A = “salir rey”; B = “salir as”; C = “salir oros”
a) Que significan los sucesos A ∩ B ; A υ B ; A υ C.
b) Halla las probabilidades de dichos sucesos;
a) Ya hemos visto el significado de cada conjunto en el último ejemplo del tema de experimentos aleatorios.
b) Sus probabilidades son: P(A ∩ B) = 0; pues no hay casos favorables.
P(A υ B) = P(A) + P(B), ya que los sucesos son incompatibles (no pueden verificarse a la vez)
P(A υ C) = P(A) + P(C) – P(A ∩ C) pues los sucesos son compatibles, porque el rey de oros (es rey y a la vez oros) se verifica en los dos sucesos => 4/40 + 10/40 – 1/40 = 13/40.
También aplicando la definición llegamos al mismo resultado, pues hay 13 cartas favorables en las 40 posibles de la baraja.
Suceso contrario de otro es aquel que cuando se realiza uno no se verifica el otro (se excluyen mutuamente) y además la unión de ambos es el espacio muestral. Al suceso contrario de A se le suele llamar
o Ac. Se verifica que P(A υ Ac) = E, P(A ∩ Ac) = Φ y P(A) + P(Ac) = 1
Ejemplo 4 (sucesos contrarios): Se sabe que la probabilidad de que el primer autobús que llegue a una parada, tenga todos los asientos ocupados es 3/11 ¿cuál es la probabilidad de que tenga algún asiento libre?
Si el autobús NO tiene todos los asientos ocupados ==> tiene alguno libre; por tanto lo hacemos por sucesos contrarios.
P(algún asiento libre) + P(Todos asientos ocupados) = 1 ==> P(algún asiento libre) = 1 – P(Todos asientos ocupados) = 1 – 3/11 = 8/11
Consecuencias:
1. P(A) + P(Ac) = 1 ==> P(A) = 1 – P(Ac) (sucesos contrarios).
2. Si A está contenido en B ==> P(B – A) = P(B) – P(A), ya que A y (B – A) son incompatibles.
3. Si A está contenido en B ==> P(A) < P(B).
4. Para dos sucesos A y B cualesquiera: P(A υ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
5. Para tres sucesos A, B y C cualesquiera: P (A υ B υ C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A ∩ B) – P(A ∩ C) – P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)
Si los sucesos son incompatibles, entonces P(A ∩ B) = 0
En general P(A ∩ B) ≠ P(A)·P(B). Solo se verifican si los sucesos son independientes.